• Где научились пчелы делить самым бережным образом одну большую площадь на несколько мелких частей?

• Как они осознали устойчивость, преимущества шестиугольника перед равносторонним треугольником и квадратом.

• Как должна пчелами применяться геометрия для того, чтобы не растратить попусту воск, используемый при закупорке открытого конца сотов, представляющих собой шестиугольную призму.

• Вправе ли мы отождествлять принцип предельной экономии пчел с понятием «инстинкт», являясь свидетелями их удивительных действий в области архитектуры и знания геометрии? А может это Божественный Дар?

Hа протяжении всей истории внимание многих людей привлекала необычная архитектура пчелиных сотов. Они состоят из довольно тонких, близко расположенных друг к другу шестиугольников, стенки которых составляют примерно 0,1 мм. Отклонение от этой усредненной величины может быть не более 0,002 мм. Для того, чтобы разглядеть в строительстве сотов применение геометрических правил, нужно обладать математическим взглядом. Круг – это геометрическая фигура, обладающая самым коротким размером сторон при окружении устойчивой плоскости. Например, при сравнении круга и квадрата площадью 10 см2 можно отметить то, что окружность значительно меньше периметра квадрата. Однако в строительстве сот дело обстоит иначе. Вместительная сотовая рамка делится на равные, более мелкие части, причем при делении используется форма, наиболее подходящая по ее длине. Если мы начнем делить рамку на равные соты в виде мелких кругов, то, как показано на рисунке вверху, будет создана самая короткая длина, но тогда понадобится намного больше воска для закупорки оставшихся пустых мест. И пчелам просто не выгодно так тратить воск и свои силы.

Однако, если мы будем рассматривать деление на соты с точки зрения геометрических принципов, то для достижения меньших затрат материала (имеется ввиду воск) и получения наименьшей длины грани, придется делить плоскость на многоугольные фигуры. Попытаемся представить себе разделение плоскости на множество многоугольников с n-ым количеством сторон. Среди них правильный n-угольник тот, который обладает самой короткой длиной периметра. Слово «правильный» подразумевает фигуру, у которой все углы и все стороны равны между собой. Внутри круга всегда можно начертить такой многоугольник, углы которого будут находиться на поверхности окружности. Именно потому, что он максимально приближен к идеальной форме круга, он имеет наиболее короткий периметр. Например, обладателем самого короткого периметра среди треугольников является равносторонний треугольник, а среди четырехугольников – квадрат. Подобным образом сравнивая между собой пяти- и шестиугольники, приходим к выводу, что, только будучи правильными, они могут обладать самым коротким периметром.

При рассмотрении пчелиных сот возникает вопрос о том, какой же из правильных многоугольников следует использовать при делении единого пространства. Круг и часть вписанного в него правильного треугольника представлены на схеме 1. Как и видно на схеме, внутренний угол многоугольника равен 180-360º/n. При делении единой плоскости на более мелкие части, необходимо учитывать тот факт, что соседние части должны плотно прилегать друг к другу, не оставляя при этом пустого пространства. Для этого сумма внутренних углов стенок, прилегающих друг к другу ячеек, должна составлять 360º (схема 2). Другими словами, сумма внутренних углов одного слоя должна равняться 360º. Мы можем это вычислить, где N – количество соседних внутренних углов:

N (180 - 360 / n) = 360
При выводе N, получаем:
N = 2n / (n-2) = 2 + 4 / (n-2)

Мы хотели определить, какое число n сторон образует комплект N. И пришли к выводу, что можно получить комплект N лишь в том случае, когда n=3, 4 и 6, но если цифра больше шести, комплект получить невозможно. Таким образом, желая разделить единую площадь на плотно прилегающие друг к другу части, следует выбирать только треугольник, квадрат или шестиугольник. Невозможно поделить площадь на правильные многоугольники без остатка, количество сторон которых больше 6-ти. Однако и правильные пятиугольники не являются разрешением этой проблемы. При сложении «стенка к стенке» трех правильных пятиугольников, представленных на схеме 3, образуется свободное место в виде угла 36º, а при сложении правильных шестиугольников свободного места не остается (схема 4). Кроме того, если сравнить правильные треугольник, квадрат и шестиугольник, то окажется, что последний обладает наименьшим периметром. Таким образом, только используя данный подход, можно максимально сократить расходование воска.

Математиками были проведены исследования с целью изучения возможного использования многоугольников с изогнутыми сторонами. При наличии изогнутой стороны многоугольник принимает выпуклую форму, причем находящийся рядом с ним другой многоугольник автоматически приобретает сторону, вогнутую вовнутрь. Наличие у многоугольника выпуклой стороны имеет и преимущества, так как он приобретает форму, близкую к кругу, а соседствующий с ним многоугольник с вогнутыми сторонами, хотя и не испытывает никакого ущерба, но и преимуществ тоже не имеет. В 1999 году Томас Хейлз (Thomas Hales) из Мичиганского университета поставил точку в спорах о конструировании сот. Он доказал, что идеальной фигурой при делении единого пространства на более мелкие части является правильный шестиугольник. Несмотря на то, что уже довольно давно известен тот факт, что идеальной фигурой для построения сот является шестиугольник, до сих пор нет точных объяснений этого феномена. И только лишь в 1999 году представилась возможность доказать, что пчелы, не ошибаясь, проделывают уже миллионы лет то, что, является ничем иным, как Божьим откровением. Однако, если бы пчелиная техника строения ячеек, пройдя эволюцию, дошла бы до наших дней, то в окаменелостях должны были бы встретиться и другие геометрические фигуры, помимо шестиугольника. Однако следов использования в пчелиных сотах других фигур не зафиксировано. Чарльз Дарвин лично охарактеризовал медовые соты, как чудо инженерии, позволяющее пчелам экономить воск.

До сих пор мы исследовали проблему двумерно. Однако соты – трехмерное тело, представленное в виде шестиугольной призмы. Такие призмы образуют два слоя с открытыми концами, при этом закрытые ее концы плотно соединены друг с другом (схема 5). При вертикальном расположении рамки, эти призмы будут построены с наклоном под углом в 130º к горизонтали – наименьшим углом, при котором не будет происходить вытекание меда. Интересно, как использовать знания геометрии с целью минимальной траты воска? В 1964 году математик Фейеш–Тот продемонстрировал оптимальный способ закупорки сот при помощи пар шестиугольников и квадратов (схема 6). Однако пчелы закрывают соты немного иначе – при помощи трех равносторонних четырехугольников. Внутренние углы равносторонних четырехугольников, равные 70,5º и 109,5º, представляют собой идеальное математическое решение формы крыши, состоящей из трех равносторонних четыререхугольников. Однако, в используемых пчелами площадях, на которых находились два шестиугольника и два квадрата, наблюдалась небольшая потеря в 0,035%. Но при этом имелась ускользнувшая от внимания исследователей точка, которая указывала на уменьшение толщины стен.

Чтобы испытать математическую модель Тота, исследователи использовали жидкую воздушную пену. Они накачали в отверстие между двумя стеклами в два слоя порошок, обладающий пузырьками диаметром в 2 мм. Пузырьки, прикасавшиеся к стеклам, начинали превращаться в шестиугольные структуры. Посередине границы двух слоев образовались описанные Тотом формы двух шестиугольников и двух четырехугольников. При уплотнении стенок пузырьков произошел интересный случай. Образовавшаяся структура вдруг, как и у пчел, превратилась в форму трех равносторонних четырехугольников. Эксперимент подтвердил, что идеальная схема построения сот все-таки дарована пчёлам свыше.

В Священном Коране уделено место действиям медоносной пчелы: «Твой Господь внушил пчеле: «Воздвигай улья в горах, на Деревьях и в строениях. А потом пей [нектар] разных плодов и летай смиренно по путям, указанным Господом твоим». Затем из чрева пчел исходит питье разных оттенков, которое дарит людям исцеление. Воистину, в этом — знамения для тех, кто задумывается» (Св. Коран, 16:68-69).

Литература
1- Science News, Vol 156, No. 4, July 24 1999.
2- John A. Adam, Mathematics in Nature, Princeton University Press, 2003.